千秋功罪,谁人曾与评说 ——杂说甜味与糖

文/冯大诚

蔡天新
浙江大学数学学院教授,著有《数学传奇》《数学简史》等,《我的大学》新近由商务印书馆出版,是他9年大学生活的回忆,亦记叙了他学理从文、文理兼修的心路历程。

会造桥和打仗的秦九韶(三)

“大衍总数术”是中国古代数学家得到的最著名的定理。在公元四五世纪成书的《孙子算经》里有所谓的“物不知数”问题:
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
答曰二十三。
孙子只是给出了最小的答案,而在民间传说里,早在公元前二三世纪,西汉名将韩信用此方法点兵,以提升和振奋士气:
秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信率兵与楚军交战。苦战一场,汉军死伤数百,遂整顿兵马返回大本营。当行至一处山坡,忽报楚军骑兵追来,只见远方尘土飞扬,杀声震天。此时汉军已十分疲惫,韩信令士兵3人一排,结果多出2名;接着令5人一排,结果多出3名;再令士兵7人一排,又多出2名。韩信当即宣布:我军1073名勇士,敌人不足500人。果然士气大振,一举击败了楚军。
用现代数学语言来表述,“大衍总数术”就是:设有k个两两互素的大于1的正整数mi(1≤i≤k),其乘积为M,则对任意k个整数ai,存在唯一不超过M的正整数x,x被各个mi除所得余数依次为ai。
秦九韶给出了求解的过程,为此他发明了“辗转相除法”(欧几里得算法)和“求一术”。后者是指,设a和m是互素的正整数,m大于1,可以求得唯一的正整数x,使得ax被m除后余数为1。
1801年,德国数学家高斯的名著《算术研究》里也给出了上述结果,但他不知道中国数学家早已获得该结果。直到1852年,秦九韶的工作被英国传教士伟烈亚力(他与清代数学家李善兰合作译完欧几里得《几何原本》)译介到欧洲,并被迅速从英文转译成德文和法文,才引起了广泛的关注。至于何时何人将之命名为中国剩余定理,仍是个未解之谜,但应不晚于1929年。
据笔者的先师潘承洞教授分析,西方人之所以称其为中国剩余定理,是因为古代中国数学家注重计算,缺乏理论建树,因而是一种轻视。无论如何,它都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理,是中外任何一本基础数论教科书不可或缺的,同时也被拓广到另一数学分支——抽象代数里面。此外,它还被应用到密码学、哥德尔不完备性定理的证明,以及快速傅里叶变换理论等诸多领域。
德国数学史家莫里斯·康托尔赞扬秦九韶是“最幸运的天才”。有着“科学史之父”美誉的美国科学史家萨顿甚至认为,秦九韶是“他那个民族,他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。2005年,牛津大学出版社出版了《数学史,从美索不达米亚到现代》,该书内容提要仅提及12位数学家,秦九韶是唯一的中国人。
值得一提的是,在中国的数论教科书里,中国剩余定理被称为孙子定理,这是因为下一节要讲到的,虽然秦九韶第一个给出了此定理的完整陈述和求解方法,但由于他的道德疑案,史书、地方志或教科书里均不出现他的名字。然而,依照国际惯例,中国剩余定理或孙子定理应称为秦九韶定理。在笔者的数论著作《数之书》里,无论中文版(2014)还是英文版(2016),均率先这么称呼了。

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