拉格朗日:数学科学高耸的金字塔

文/ 蔡天新 

 

拉格朗日和欧拉被认为是18世纪两个最伟大的数学家。至于他们两位中间谁更伟大这个问题引起过一番争论,这在一定程度上也反映了支持者的数学趣味。拉格朗日出生在意大利西北部名城都灵,也就是菲亚特汽车和尤文图斯足球队的老巢。由于与法国近在咫尺,都灵在16世纪一度被法国占有,而在拉格朗日时代,它已是撒丁王国的首府。到19世纪,都灵成了争取意大利统一的政治和思想中心,以至于独立以后它成为首都。
拉格朗日身上混杂着法国和意大利的血统,以法国血统居多。拉格朗日的父亲一度担任撒丁王国的陆军部司库,却没有管理好自己的家产。作为11个孩子中唯一的幸存者,拉格朗日所得的遗产寥寥无几,他后来把这件事看成是发生在自己身上最幸运的事,他说:“要是我继承了一大笔财产,那我或许就不会与数学共命运了。”
拉格朗日上学以后,最初的兴趣是在古典文学方面,欧几里得和阿基米德的几何著作并没有让他产生多少热情。后来,他读到牛顿的朋友哈雷(以发现哈雷彗星闻名)写的一篇称赞微积分的文章,遂被这门新学科给迷住了。在极短的时间内,他通过自学掌握了那个时代的全部分析知识。据说拉格朗日19岁(另一个说法是16岁)时就被任命为都灵炮兵学院的数学教授,从那以后开始了数学史上最辉煌的经历之一。到25岁时,他被认为已经步入世界上最伟大的数学家之列了。
与其他数学家不同,拉格朗日从一开始就是个分析学家,这也从一个侧面证明了那个时代分析是最热门的数学分支。这种偏爱体现在他19岁时就构想好的《分析力学》一书中,但这部杰作直到他52岁才在巴黎出版,那时他对数学基本上已经失去兴趣了。在前言中,拉格朗日这样写道:“在这本书中找不到一张图。”但是,他接着又说,力学可以看成是四维空间的几何——三个笛卡儿直角坐标系的坐标加上一个时间坐标,这样就足以确定一个运动着的点的空间和时间位置。
今天我们熟知的数学符号中,函数f(x)的导数f′(x)、f (2)(x)、f (3)(x)是由拉格朗日引进的,他还建立起了以他名字命名的中值定理。此外,他用连分数给出了求方程实根的近似值方法,并致力于用幂级数来表示任意函数。
在被19世纪的爱尔兰数学家哈密尔顿赞为“科学的诗”的著作《分析力学》中,拉格朗日建立起了包括被后人称为拉格朗日方程的、动力系统的一般方程,同时容纳了他在微分方程、偏微分方程和变分法中的一些著名结果。这部著作对一般力学的重要性就像牛顿的万有引力定律对天体力学一样。但这不等于说拉格朗日不关心天体问题,事实上,他曾解决月球的天平动问题,即为何月球总是以同一面向着地球。用分析方法解决力学问题,这标志着与希腊古典传统的分道扬镳,甚至牛顿及其追随者的力学研究也依赖于几何和图形。
从一开始,拉格朗日就得到了年长他近30岁的竞争对手欧拉的慷慨赞誉和提携,这成了数学史上的一段佳话。他也像欧拉一样在把主要精力花在分析及其应用之余,沉湎于奥妙无穷的数论难题。例如,他曾证明了费马的两个重要猜想。同余理论中有一个拉格朗日定理,更为著名的拉格朗日定理出现在群论中,即:有限群G的子群的阶是G的阶的因子。
由于拉格朗日所取得的成就,撒丁国王负担起他去巴黎和伦敦游学的旅费,他却在巴黎一病不起,待到身体稍好,便急切地返回都灵。不久,他接到普鲁士国王腓特烈的邀请去了柏林,在那里一住就是11年,直到国王去世。这一次,法国终于没有再错过拉格朗日,路易十四把他邀请到了巴黎。那是1787年,拉格朗日已经把兴趣转向人文科学、医学和植物学等。比他年轻19岁的玛丽王后对他爱护有佳,尽一切所能减轻他的消沉。
不久,法国大革命的高潮席卷了巴黎,似乎也冲破了拉格朗日的冷漠,激励他的数学头脑再次活跃起来。他谢绝了重返柏林的邀请,依靠自己的缄默度过了恐怖岁月。等到巴黎师范学校成立,他被任命为教授,接着又成了巴黎综合工科学校的第一位教授,为拿破仑麾下的年轻军事工程师们讲授数学,其中就有未来的数学家柯西。拿破仑经常来拜访拉格朗日,谈论数学和哲学,并让他当上了参议员和伯爵。“拉格朗日是数学科学高耸的金字塔。”这位征服过埃及的不可一世的皇帝赞叹道。

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